Neue Erkenntnisse beweisen, Mathematik s-million-dollar-problem: die Riemann-Hypothese (Update)

Neue Erkenntnisse beweisen, Mathematik Millionen-dollar-problem: die Riemann-Hypothese (Update) 7. April 2017 durch Lisa Zyga, Phys.org feature (Phys.org)—Forscher haben entdeckt, dass die
wie um zu beweisen, it-Lösungen

7. April 2017
von Lisa Zyga, Phys.org feature

(Phys.org)—Forscher haben entdeckt, dass die Lösungen für eine berühmte mathematische Funktion, die aufgerufen wird die Riemannsche zeta-Funktion entsprechen die Lösungen der anderen Art von Funktion, die es vielleicht einfacher zu lösen eines der größten Probleme in der Mathematik: die Riemannsche Vermutung. Wenn die Ergebnisse konsequent überprüft, dann wäre es endlich beweisen der Riemannschen Hypothese, die es Wert ist $1.000.000 Millennium-Preis des Clay Mathematics Institute.

Während die Riemann-Hypothese geht zurück bis 1859, in den letzten 100 Jahren oder so haben die Mathematiker versucht zu finden, eine operator-Funktion wie das hier entdeckt, da es als ein wichtiger Schritt im Beweis.

„Unseres Wissens ist dies das erste mal, dass ein explizit—und vielleicht überraschend-relativ einfach—Betreiber bestimmt wurde, deren Eigenwerte [‚Lösungen‘, die im matrix-Terminologie] entsprechen genau den nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen zeta-Funktion,“ Dorje Brody, einem mathematischen Physiker an der Brunel University London und Co-Autor der neuen Studie, sagte Phys.org.

Was noch zu beweisen ist der zweite wichtige Schritt: dass alle Eigenwerte sind Reale zahlen und nicht als imaginären lieben. Wenn zukünftige Arbeit dies nachweisen kann, dann wäre es endlich beweisen der Riemannschen Hypothese.

Brody und seine Mitautoren, mathematischer Physiker Carl Bender Washington University in St. Louis und Markus Müller von der University of Western Ontario, veröffentlichte Ihre Arbeit in der jüngsten Ausgabe der „Physical Review Letters“.

Abstand von Primzahlen

Die Riemann-Hypothese hält einen so starken Reiz, denn es ist eng verbunden mit der Zahl der Theorie und insbesondere der Primzahlen. In seinem 1859 Papier, deutscher Mathematiker Bernhard Riemann untersuchte die Verteilung der Primzahlen—oder genauer gesagt, das problem „gegeben eine ganze Zahl N, wie viele Primzahlen gibt es, die kleiner als N?“

Riemann vermutete, dass die Verteilung der Primzahlen kleiner als N ist in Bezug auf die nichttrivialen Nullstellen von dem, was jetzt genannt die Riemannsche zeta-Funktion ζ(s). (Die Nullstellen sind die Lösungen, oder die Werte von s , die Funktion gleich null. Obwohl es leicht war, für Mathematiker zu sehen, dass es Nullstellen, wenn N eine negative gerade Zahl, diese Nullen werden als trivialen Nullstellen und nicht der interessante Teil der Funktion.)

Die Riemannsche Hypothese war, dass alle nichttrivialen Nullstellen liegen entlang einer vertikalen Linie (½ + es) in der komplexen Ebene—D. H. Ihre Reale Komponente ist immer½, während Ihre imaginären Komponente i variiert, wie Sie gehen nach oben und unten die Linie.

In den vergangenen 150 Jahren haben die Mathematiker gefunden, die buchstäblich Billionen von nichttrivialen Nullstellen, und alle von Ihnen haben eine Reale Komponente von½, so wie Riemann gedacht. Es ist allgemein angenommen, dass die Riemannsche Hypothese wahr ist, und viel Arbeit getan wurde, basiert auf dieser Annahme. Aber trotz intensiver Bemühungen, die Riemann—Hypothese -, dass alle die unendlich viele Nullstellen liegen auf dieser Linie—ist bisher nicht nachgewiesen worden.

Eine der hilfreichsten Hinweise, die für den Nachweis der Riemann-Hypothese ist aus der Funktion der Theorie, die zeigt, dass die Werte des imaginären Teils, t, bei denen die Funktion verschwindet, sind die diskreten zahlen. Dies deutet darauf hin, dass die nichttrivialen Nullstellen bilden eine Reihe von realen und diskreten zahlen, die wie die Eigenwerte einer anderen Funktion, die aufgerufen wird ein differential-operator, der weit verbreitet in der Physik.

In den frühen 1900er Jahren, diese ähnlichkeit führte dazu, dass einige Mathematiker zu Fragen, ob es wirklich existiert, ein differential-operator, dessen Eigenwerte entsprechen genau den nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen zeta-Funktion. Heute ist diese Idee heißt die Hilbert-Pólya-Vermutung, benannt nach David Hilbert und George Pólya—trotz der Tatsache, dass keiner von Ihnen etwas veröffentlicht über.

„Da gibt es keine Publikation von Hilbert oder Pólya, die genaue Angabe des Hilbert-Pólya-Programm unterliegt zum Teil der interpretation, aber es ist wohl nicht abwegig zu sagen, dass es besteht aus zwei Schritten: (a) finden Sie einen operator, dessen Eigenwerte entsprechen die nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen zeta-Funktion; und (b) bestimmen, ob die Eigenwerte sind real“, entgegnete Brody.

„Der Schwerpunkt unserer Arbeit war bisher auf Schritt (a),“ sagte er. „Wir haben festgestellt, ein operator, dessen Eigenwerte entsprechen genau den nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen zeta-Funktion. Wir sind erst am Anfang zu überlegen Schritt (b), und in der Tat, wie diese Herausforderung anzugehen. Ob es schwierig oder einfach, füllen Sie die fehlenden Schritte in Richtung Schritt (b), den wir an dieser Stelle nicht spekulieren—die weitere Arbeit ist nötig, um ein besseres Gefühl für das Ausmaß der Schwierigkeiten.“

Eines der interessante Dinge über die neu entdeckte Betreiber ist, dass Sie ist eng mit der Quantenphysik.

Im Jahr 1999, als mathematischer Physiker Michael Berry und Jonathan Keating untersucht wurden die Hilbert-Pólya Vermutung, Sie machten einen weiteren wichtigen Vermutung. Wenn ein solcher operator existiert, Sie sagte, dann sollte es entsprechen einer theoretischen quantenmechanischen Systems mit besonderen Eigenschaften. Dies ist nun aufgerufen, die Berry-Keating Vermutung. Aber niemand hat jemals so ein system nun vor, und dies ist ein zweiter wichtiger Aspekt der neuen Arbeit.

„Wir haben festgestellt, eine Quantisierung Voraussetzung für die Berry-Keating-Hamilton-Operator, also im wesentlichen die überprüfung der Gültigkeit der Berry-Keating-Vermutung“, entgegnete Brody.

Hamiltonians sind oft verwendet, um zu beschreiben, die Energie des physischen systems. Der neue Betreiber, jedoch, scheint nicht zur Beschreibung eines physikalischen Systems, sondern ist eher eine rein mathematische Funktion.

„Es mag enttäuschend sein, aber so ein Hamiltonian nicht scheinen, um physische Systeme in einer offensichtlichen Weise; oder zumindest so weit fanden wir keine Anzeichen dafür, dass unser Hamilton-Operator entspricht jedes beliebiges physikalische system“, entgegnete Brody.

„Aber man könnte dann Fragen:“ warum veröffentlichen Sie in PRL?‘ Die Antwort ist, weil viele der Techniken verwendet heuristische Analyse in unserem Papier, das sind suggestive entlehnt sind Techniken des pseudo-hermitesche PT-symmetrischen Quantentheorie entwickelte sich über die letzten 15 Jahre oder so. Das herkömmliche Verständnis der Hilbert-Pólya Vermutung ist, dass der operator (Hamiltonian) sollte hermitesche, und man natürlich links diese Quanten-Theorie, Wonach Hamiltonians sind konventionell gefordert werden hermitesche. Wir schlagen eine pseudo-hermitesche form des Hilbert-Pólya-Programm, das uns scheint, lohnt sich die Erkundung weiter.“

Jetzt ist die größte Herausforderung, die bleibt, ist zu zeigen, dass der operator die Eigenwerte sind reelle zahlen.

Im Allgemeinen, haben die Forscher sind optimistisch, dass die Eigenwerte sind tatsächlich real, und in Ihrem Papier, das Sie präsentieren ein starkes argument für diese auf der Grundlage von PT-Symmetrie, ein Konzept aus der Quantenphysik. Im Grunde, PT-Symmetrie sagt, dass Sie ändern können Zeichen von allen vier Komponenten der Raum-Zeit (drei Leerzeichen, oder „Parität“ – Dimensionen und einer zeitlichen dimension), und, wenn das system PT-symmetrisch ist, dann wird das Ergebnis gleich Aussehen, wie das original.

Obwohl die Natur im Allgemeinen ist nicht PT-symmetrisch ist, sind die Betreiber, dass die Physiker gebaut wird. Aber jetzt wollen die Forscher zeigen, dass diese Symmetrie wird gebrochen. Als Sie erklären in Ihrem Papier, wenn es gezeigt werden kann, dass die PT-Symmetrie ist gebrochen, wird der imaginäre Teil des operators, dann würde daraus Folgen, dass die Eigenwerte alle reellen zahlen, die letztlich bilden der lang ersehnte Beweis der Riemann-Hypothese.

Es wird allgemein angenommen, dass ein Beweis für die Riemann Hypothese, die sehr nützlich sein wird in der informatik, insbesondere Kryptographie. Die Forscher wollen außerdem bestimmen, was Ihre Ergebnisse eigentlich für das Verständnis von grundlegenden mathematischen Prinzipien.

„Was wir untersucht haben, bislang mit wenig zahlentheoretischen Erkenntnisse; in der Erwägung, dass man erwarten könnte, angesichts Ihrer Bedeutung in der Zahlentheorie, sicherlich jeder Versuch, die erfolgreich macht Fortschritte bei der Festlegung der Riemann-Hypothese bieten würde zahlentheoretischen Erkenntnisse“, entgegnete Brody. „Natürlich muss das nicht der Fall sein, aber dennoch wäre es von Interesse zu untersuchen, ob jeder der die dynamischen Aspekte des hypothetischen system beschrieben durch unser Hamilton-Operator verknüpft werden kann, um bestimmte zahlentheoretischen Ergebnisse. In diesem Zusammenhang semi-klassischen analysis auf unseren Hamiltonian wäre eines der nächsten Ziele.“

Weitere Informationen: Carl M. Bender, Dorje C. Brody, und Markus P. Müller. „- Hamilton-Operator für die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.“ Physical Review Letters. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.130201

Like this post? Please share to your friends:
Schreibe einen Kommentar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: